【高校では教えてくれない裏ワザ】

高校では教えてくれない裏ワザ[5]:微分の意外な使い方

皆さんは、次のような級数の和を求める時に、どのよう方法を用いるでしょうか?

以下の級数の和を求めよ。
\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^n k r^k &=& 1\cdot r + 2\cdot r^2 + 3 \cdot r^3 + \cdots + n \cdot r^n
\end{eqnarray}

オーソドックスな答

\begin{eqnarray}
s_n &=& 1\cdot r + 2\cdot r^2 + 3 \cdot r^3 + \cdots + n \cdot r^n \\
r s_n &=& \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \cdot r^2 + 2 \cdot r^3 + \cdots + (n – 1)\cdot r^n + n \cdot r^{n + 1}\\
(1 – r) s_n &=& 1 \cdot r + 1 \cdot r^2 + 1 \cdot r^3 + \cdots + 1 \cdot r^n – n \cdot r^{n + 1} \\
(1- r) s_n &=& r \frac{1 – r^n}{1- r} – n r^{n + 1} \\
s_n &=& \frac{r (1 – r^n)}{(1 – r)^2} – \frac{n r^{n + 1}}{(1 – r)} \\
&=& \frac{r – (n + 1) r^{n + 1} + n r^{n + 2}}{(1 – r)^2}
\end{eqnarray}

微分を使って工夫した答

\begin{eqnarray}
S_n &\equiv& r + r^2 + r^3 + \cdots + r^n \\
\frac{{\rm d} S_n}{{\rm d} r} &=& 1 + 2\cdot r^2 + 3\cdot r^2 + \cdots + n \cdot r^{n – 1} \\
r \frac{{\rm d} S_n}{{\rm d} r} &=& 1\cdot r + 2\cdot r^2 + 3\cdot r^3 + \cdots +n \cdot r^n
\end{eqnarray}
一方で、$S_n$ は初項 $r$ 、公比 $r$ の等比級数であるので
\begin{eqnarray}
S_n &=& r \frac{1 – r^n}{1 – r} = \frac{r – r^{n + 1}}{1 – r}
\end{eqnarray}
に注意すれば
\begin{eqnarray}
\frac{{\rm d}S_n}{{\rm d} r} &=& \frac{(1 – (n + 1) r^n)(1 – r) + (r – r^{n + 1})}{(1 – r)^2} \\
&=& \frac{1 – (n + 1) r^n + n r^{n + 1}}{(1 – r)^2} \\
r \frac{{\rm d} S_n}{{\rm d} r} &=& \frac{r – (n + 1) r^{n + 1} + n r^{n + 2}}{(1 – r)^2} = s_n
\end{eqnarray}
となり、先程の結果と一緒になりました。

分母が $r = 1$ で発散しそうな形になっていますが、これは見かけ上であって、$r = 1$ において、ちゃんと有限の値を持ちます。実際に分子に $r = 1$ を代入しても 0 になりますから、$(r – 1)$ の因子を持っていることが分かります。
ロピタルの定理を2回使って、その値を計算すると
\begin{eqnarray}
s_n|_{r = 1} &=& \frac{1}{2}n(n + 1)
\end{eqnarray}
これは、確かに
\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^n k &=& \frac{n (n + 1)}{2}
\end{eqnarray}
の結果を再現していますね。

この方法を工夫すると更に、次のような級数の和も計算出来ます。
\begin{eqnarray}
r \frac{\rm d}{{\rm d} r}\left(r \frac{{\rm d} S_n}{{\rm d} r}\right) &=& 1^2\cdot r + 2^2\cdot r^2 + 3^2\cdot r^3 + \cdots + n^2 r^n \\
\frac{\rm d}{{\rm d} r}\left(r \frac{{\rm d} S_n}{{\rm d} r}\right) &=&\frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{r – (n + 1) r^{n + 1} + n r^{n + 2}}{(1 – r)^2}\right) \\
&=& \frac{(1 + r) – (n + 1)^2 r^n + (2 n^2 + 2 n – 1) r^{n + 1} – n^2 r^{n + 2}}{(1 – r)^3} \\
r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(r \frac{{\rm d} S_n}{{\rm d} r}\right) &=& \frac{r (1 + r) – (n + 1)^2 r^{n + 1} + (2 n^2 + 2 n – 1) r^{n + 2} – n^2 r^{n + 3}}{(1 – r)^3}
\end{eqnarray}
これも、もちろん $r = 1$ でも成り立つはずの式で、実際に、$r = 1$ のときには分母も0になり、$(r – 1)$ の因子を持つことが分かります。

今度はロピタルの定理を3回使って $r = 1$ の時の値を求めてみましょう。
\begin{eqnarray}
r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(r \frac{{\rm d} S_n}{{\rm d} r}\right)|_{r = 1} &=& \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}
\end{eqnarray}
となり
\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^n k^2 &=& \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}
\end{eqnarray}
を再現します。

この要領で計算を続けて行けば、$m$ を自然数とする時に
\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^n &=& 1^m \cdot r^1 + 2^m \cdot r^2 + 3^m \cdot r^3 + \cdots + n^m \cdot r^n
\end{eqnarray}
も求まりますね。

このような微分の使い方もあるのです。ご自分で色々と工夫してみて下さい。

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