【高校では教えてくれない裏ワザ】

高校では教えてくれない裏ワザ[4]:Euler の公式(3)

Euler の公式は級数の和を求める時にも効力を発揮します。次のような問題は簡単に解けるでしょうか?

以下の級数の和を求めよ。
\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^{n} \sin k \theta &=& \sin \theta + \sin 2\theta +\cdots + \sin n\theta \\
\sum_{k = 1}^{n} \cos k \theta &=& \cos \theta + \cos 2 \theta + \cdots + \cos n\theta
\end{eqnarray}

この級数は等比級数でも等差級数でもありません。しかし、Euler の公式を用いると、途端に扱いやすくなります。

\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^{n} {\rm e}^{k \theta i} &=& {\rm e}^{\theta i} + {\rm e}^{2 \theta i} + \cdots + {\rm e}^{n \theta i} \\
&=& (\cos\theta + i \sin\theta) + (\cos 2\theta + i \sin 2\theta) + \cdots + (\cos n\theta + i \sin n\theta) \\
&=& \sum_{k = 1}^{n} \cos k\theta + i \sum_{i = 1}^{n} \sin k \theta
\end{eqnarray}
一方で、初項 ${\rm e}^{\theta i}$ 公比 ${\rm e}^{\theta i}$ の等比数列の和と見ると
\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^{n} {\rm e}^{k \theta i} &=& {\rm e}^{\theta i} + {\rm e}^{2 \theta i} + \cdots + {\rm e}^{n \theta i} \\
&=& {\rm e}^{\theta i} \frac{1 – {\rm e}^{n \theta i}}{1 – {\rm e}^{\theta i}} \\
&=& {\rm e}^{\theta i} \frac{{\rm e}^{\frac{n \theta}{2} i} \left({\rm e}^{- \frac{n \theta}{2} i} – {\rm e}^{\frac{n \theta}{2} i}\right)}{{\rm e}^{\frac{\theta}{2} i} \left({\rm e}^{- \frac{\theta}{2} i} – {\rm e}^{\frac{\theta}{2} i}\right)} \\
&=& {\rm e}^{\frac{(n – 1) \theta}{2} i} \frac{\sin\frac{n \theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \\
&=& \frac{\sin\frac{n \theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \left(\cos\frac{(n – 1) \theta}{2} + i \sin\frac{(n – 1) \theta}{2}\right)
\end{eqnarray}
従って
\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^{n} \cos k\theta &=&
\frac{\sin\frac{n \theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{(n – 1) \theta}{2} \\
\sum_{k = 1}^{n} \sin k\theta &=&
\frac{\sin\frac{n \theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \sin\frac{(n – 1) \theta}{2}
\end{eqnarray}
と求まる。

どうですか?三角関数である $\sin$ や $\cos$ を ${\rm e}^{i \theta}$ と書くことにより等比数列になりました。
Euler の公式の威力の一部を感じられませんか?

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