【高校では教えてくれない裏ワザ】

高校では教えてくれない裏ワザ[3]:Euler の公式(2)

三角関数が苦手という方の中には、「公式がいっぱいあって全部覚えられない」、「どこでどの公式を使って良いのか分からない」といった理由を上げる方が少なくありません。

でも、「Euler の公式」覚えていれば、他の公式は必要に応じて直ぐに導き出せるのです。
今回はこのことをご紹介しようと思います。

先ずは、三角関数にまつわる数々の公式を列挙してみましょう。

\begin{eqnarray}
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1
\end{eqnarray}

加法定理

\begin{eqnarray}
\sin(\alpha + \beta) &=& \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \\
\cos(\alpha + \beta) &=& \cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta
\end{eqnarray}

ド・モアブルの定理

\begin{eqnarray}
(\cos\theta + i \sin\theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta
\end{eqnarray}

2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 2\theta &=& 2 \sin\theta \cos\theta \\
\cos 2 \theta &=& 2 \cos^2 \theta – 1
\end{eqnarray}

3倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 3\theta &=& -4 \sin^3\theta + 3 \sin\theta \\
\cos 3 \theta &=& 4 \cos^3\theta – 3 \cos\theta
\end{eqnarray}

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2\frac{\theta}{2} &=& \frac{1 – \cos\theta}{2} \\
\cos^2\frac{\theta}{2} &=& \frac{1 + \cos\theta}{2}
\end{eqnarray}

積和の公式

\begin{eqnarray}
\sin\alpha \cos\beta &=& \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta)) \\
\cos\alpha \cos\beta &=& \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha – \beta)) \\
\sin\alpha \sin\beta &=& – \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) – \cos(\alpha – \beta))
\end{eqnarray}

べき乗

\begin{eqnarray}
\sin^2\theta &=& \frac{1 – \cos 2\theta}{2} \\
\sin^3\theta &=& \frac{3 \sin\theta – \sin 3 \theta}{4} \\
\sin^4\theta &=& \frac{3 – 4 \cos\theta + \cos4\theta}{8} \\
\sin^5\theta &=& \frac{10 \sin\theta – 5 \sin3\theta + \sin5\theta}{16} \\
\cos^2\theta &=& \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \\
\cos^3\theta &=& \frac{3 \cos\theta + \cos3\theta}{4} \\
\cos^4\theta &=& \frac{3 + 4 \cos2\theta \cos4\theta}{8} \\
\cos^5\theta &=& \frac{10\cos\theta + 5 \sin3\theta + \sin5\theta}{16}
\end{eqnarray}

うんざりするほど、たくさんありますね。でも、Euler の公式さえ知っていれば、これらの公式はすべて簡単に導き出せるのです。

覚えることは、
\begin{eqnarray}
{\rm e}^{i \theta} &=& \cos \theta + i \sin\theta
\end{eqnarray}
だけです。

これから導かれることなのですが、次の関係式も覚えておいて損はないでしょう。
\begin{eqnarray}
\sin\theta &=& \frac{{\rm e}^{i \theta} – {\rm e}^{- i \theta}}{2 i} \\
\cos\theta &=& \frac{{\rm e}^{i \theta} + {\rm e}^{- i \theta}}{2}
\end{eqnarray}
これだけです!

さて、1つ1つ確かめていきましょう。

\begin{eqnarray}
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1
\end{eqnarray}

「これぐらい、覚えれるよ!」と怒られそうですが、これもちゃんと導けます。

\begin{eqnarray}
|{\rm e}^{i \theta}|^2 &=& {\rm e}^{i \theta} {\rm e}^{- i \theta} \\
&=& {\rm e}^{i \theta – i \theta} \\
&=& {\rm e}^0 \\
&=& 1
\end{eqnarray}
一方で、Euler の公式を使えば
\begin{eqnarray}
|{\rm e}^{i \theta}|^2 &=& {\rm e}^{i \theta} {\rm e}^{- i \theta} \\
&=&(\cos\theta + i \sin\theta) (\cos\theta – i \sin\theta) \\
&=& \cos^2\theta + \sin^2\theta
\end{eqnarray}
が得られるので、
\begin{eqnarray}
\sin^2\theta + \cos^2\theta &=&1
\end{eqnarray}
が得られます。

さて、次に進みましょう。これも覚えている方は多いでしょうね。

加法定理

\begin{eqnarray}
\sin(\alpha + \beta) &=& \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \\
\cos(\alpha + \beta) &=& \cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta
\end{eqnarray}

Euler の公式から
\begin{eqnarray}
{\rm e}^{(\alpha + \beta) i} &=& \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
一方で、
\begin{eqnarray}
{\rm e}^{(\alpha + \beta) i} &=& {\rm e}^{\alpha i} {\rm e}^{\beta i} \\
&=& (\cos\alpha + i \sin\alpha)(\cos\beta + i \sin\beta) \\
&=& (\cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta) + i (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)
\end{eqnarray}
が成り立ち、先の式と実部、虚部を見比べると加法定理が再現出来ています。

どんどん進んで行きましょう。

ド・モアブルの定理

\begin{eqnarray}
(\cos\theta + i \sin\theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta
\end{eqnarray}

Euler の公式から
\begin{eqnarray}
\left({\rm e}^{i \theta}\right)^n &=& {\rm e}^{n \theta i} \\
&=& \cos n\theta + i \sin n\theta
\end{eqnarray}
が得られます。一方で
\begin{eqnarray}
\left({\rm e}^{i \theta}\right)^n &=& (\cos\theta + i \sin\theta)^n
\end{eqnarray}
が成り立つので、ド・モアブルの公式も再現します。

次は加法定理から直ぐに出ますが、一応確認しておきましょう。

2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 2\theta &=& 2 \sin\theta \cos\theta \\
\cos 2 \theta &=& 2 \cos^2 \theta – 1
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sin 2\theta &=& \frac{{\rm e}^{2 \theta i} – {\rm e}^{- 2 \theta i}}{2 i} \\
&=& 2 \frac{{\rm e}^{\theta i} – {\rm e}^{- \theta i}}{2 i} \frac{{\rm e}^{\theta i} + {\rm e}^{- \theta i}}{2} \\
&=& 2 \sin\theta \cos\theta \\
\cos2 \theta &=& \frac{{\rm e}^{2 \theta i} + {\rm e}^{- 2 \theta i}}{2} \\
&=& \frac{({\rm e}^{\theta i} + {\rm e}^{- \theta i})^2 – 2}{2} \\
&=& 2 \cos^2\theta – 1
\end{eqnarray}

3倍角の公式になると、覚えている方は少ないかも。

3倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 3\theta &=& -4 \sin^3\theta + 3 \sin\theta \\
\cos 3 \theta &=& 4 \cos^3\theta – 3 \cos\theta
\end{eqnarray}

これも Euler の公式を使えば一発です。
\begin{eqnarray}
\sin 3\theta &=& \frac{{\rm e}^{3 \theta i} – {\rm e}^{- 3 \theta i}}{2 i} \\
&=& \frac{({\rm e}^{i \theta} – {\rm e}^{- \theta i})^3 + 3 {\rm e}^{2 i \theta} {\rm e}^{- \theta i} – 3 {\rm e}^{i \theta} {\rm e}^{- 2 \theta i}}{2i} \\
&=& -4 \sin^3\theta + 3 \sin\theta \\
\cos3\theta &=& \frac{{\rm e}^{3 \theta i} + {\rm e}^{- 3 \theta i}}{2} \\
&=& \frac{({\rm e}^{\theta i} + {\rm e}^{- \theta i})^3 – 3 {\rm e}^{\theta i} – 3 {\rm e}^{- \theta i}}{2} \\
&=& 4 \cos^3\theta – 3 \cos\theta
\end{eqnarray}

半角の公式は倍角の公式を逆に解けば出てきますが、一応確かめておきましょう。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\sin^2\frac{\theta}{2} &=& \frac{1 – \cos\theta}{2} \\
\cos^2\frac{\theta}{2} &=& \frac{1 + \cos\theta}{2}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sin^2\frac{\theta}{2} &=& \left(\frac{{\rm e}^{\frac{\theta}{2} i} – {\rm e}^{- \frac{\theta}{2}i}}{2 i}\right)^2 \\
&=& \frac{{\rm e}^{\theta i} + {\rm e}^{- \theta i} – 2}{-4} \\
&=& \frac{1 – \cos\theta}{2} \\
\cos^2\frac{\theta}{2} &=& \left(\frac{{\rm e}^{\frac{\theta}{2} i} + {\rm e}^{- \frac{\theta}{2} i}}{2}\right)^2 \\
&=& \frac{{\rm e}^{\theta i } + {\rm e}^{- \theta i} + 2}{4} \\
&=& \frac{1 + \cos\theta}{2}
\end{eqnarray}

これは覚えている方はいらっしゃるんですかね?

積和の公式

\begin{eqnarray}
\sin\alpha \cos\beta &=& \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta)) \\
\cos\alpha \cos\beta &=& \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha – \beta)) \\
\sin\alpha \sin\beta &=& – \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) – \cos(\alpha – \beta))
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sin\alpha \cos\beta &=& \frac{{\rm e}^{\alpha i} – {\rm e}^{- \alpha i}}{2 i} \frac{{\rm e}^{\beta i} + {\rm e}^{- \beta i}}{2} \\
&=& \frac{{\rm e}^{(\alpha + \beta) i} – {\rm e}^{- (\alpha + \beta) i} + {\rm e}^{(\alpha – \beta) i} – {\rm e}^{- (\alpha – \beta) i}}{4 i} \\
&=& \frac{1}{2} (\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta)) \\
\cos\alpha \cos\beta &=& \frac{{\rm e}^{\alpha i} + {\rm e}^{- \alpha i}}{2} \frac{{\rm e}^{\beta i} + {\rm e}^{- \beta i}}{2} \\
&=& \frac{{\rm e}^{(\alpha + \beta) i} + {\rm e}^{- (\alpha + \beta) i} + {\rm e}^{(\alpha – \beta) i} + {\rm e}^{- (\alpha – \beta) i}}{4} \\
&=& \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha – \beta)) \\
\sin\alpha \sin\beta &=& \frac{{\rm e}^{\alpha i} – {\rm e}^{- \alpha i}}{2 i} \frac{{\rm e}^{\beta i} – {\rm e}^{- \beta i}}{2 i} \\
&=& \frac{{\rm e}^{(\alpha + \beta) i} + {\rm e}^{- (\alpha + \beta) i} – {\rm e}^{(\alpha – \beta) i} – {\rm e}^{- (\alpha – \beta) i}}{- 4} \\
&=& – \frac{1}{2} (\cos(\alpha + \beta) – \cos(\alpha – \beta))
\end{eqnarray}

これを全部覚えている人がいるとは思えないですが。

べき乗

\begin{eqnarray}
\sin^2\theta &=& \frac{1 – \cos 2\theta}{2} \\
\sin^3\theta &=& \frac{3 \sin\theta – \sin 3 \theta}{4} \\
\sin^4\theta &=& \frac{3 – 4 \cos\theta + \cos4\theta}{8} \\
\sin^5\theta &=& \frac{10 \sin\theta – 5 \sin3\theta + \sin5\theta}{16} \\
\cos^2\theta &=& \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \\
\cos^3\theta &=& \frac{3 \cos\theta + \cos3\theta}{4} \\
\cos^4\theta &=& \frac{3 + 4 \cos2\theta + \cos4\theta}{8} \\
\cos^5\theta &=& \frac{10\cos\theta + 5 \sin3\theta + \sin5\theta}{16}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sin^2\theta &=& \left(\frac{{\rm e}^{\theta i} – {\rm e}^{- \theta i}}{2 i}\right)^2 \\
&=& \frac{{\rm e}^{2 \theta i} + {\rm e}^{- \theta i} – 2}{- 4} \\
&=& \frac{1 – \cos2\theta}{2} \\
\sin^3\theta &=& \left(\frac{{\rm e}^{\theta i} – {\rm e}^{- \theta i}}{2 i}\right)^3 \\
&=& \frac{{\rm e}^{3 \theta i} – {\rm e}^{- 3 \theta i} – 3 {\rm e}^{\theta i} + 3 {\rm e}^{- \theta i}}{- 8 i} \\
&=& \frac{3 \sin\theta – \sin3\theta}{4} \\
\sin^4\theta &=& \left(\frac{{\rm e}^{\theta i} – {\rm e}^{- \theta i}}{2 i}\right)^4 \\
&=& \frac{{\rm e}^{4 \theta i} + {\rm e}^{- 4 \theta i} – 4 {\rm e}^{2 \theta i} – 4 {\rm e}^{- 2 \theta i} + 6}{16} \\
&=& \frac{3 – 4 \cos2\theta + \cos4\theta}{8} \\
\sin^5\theta &=& \left(\frac{{\rm e}^{\theta i} – {\rm e}^{- \theta i}}{2 i}\right)^5 \\
&=& \frac{{\rm e}^{5 \theta i} – {\rm e}^{- 5 \theta i} – 5 {\rm e}^{3 \theta i} + 5 {\rm e}^{- 3 \theta i} + 10 {\rm e}^{\theta i} – 10 {\rm e}^{- \theta i}}{32 i} \\
&=&\frac{10 \sin\theta – 5 \sin3\theta + \sin5\theta}{16} \\
\cos^2\theta &=& \left(\frac{{\rm e}^{\theta i} + {\rm e}^{- \theta i}}{2}\right)^2 \\
&=& \frac{{\rm e}^{2 \theta i} + {\rm e}^{- 2 \theta i} + 2}{4} \\
&=& \frac{1 + \cos2\theta}{2} \\
\cos^3\theta &=& \left(\frac{{\rm e}^{\theta i} + {\rm e}^{- \theta i}}{2}\right)^3 \\
&=& \frac{{\rm e}^{3 \theta i} + {\rm e}^{- 3 \theta i} + 3 {\rm e}^{\theta i} + 3 {\rm e}^{- \theta i}}{8} \\
&=& \frac{3 \cos \theta + \cos3\theta}{4} \\
\cos^4\theta &=& \left(\frac{{\rm e}^{\theta i} + {\rm e}^{- \theta i}}{2}\right)^4 \\
&=& \frac{{\rm e}^{4 \theta i} + {\rm e}^{- 4 \theta i} + 4 {\rm e}^{2 \theta i} + 4 {\rm e}^{- 2 \theta i} + 6}{16} \\
&=& \frac{3 + 4 \cos2\theta + \cos4\theta}{8} \\
\cos^5\theta &=& \left(\frac{{\rm e}^{\theta i} + {\rm e}^{- \theta i}}{2}\right)^5 \\
&=& \frac{{\rm e}^{5 \theta i} + {\rm e}^{- 5 \theta i} + 5 {\rm e}^{3 \theta i} + 5 {\rm e}^{- 3 \theta i} + 10 {\rm e}^{\theta i} + 10 {\rm e}^{- \theta i}}{32} \\
&=& \frac{10 \cos\theta + 5 \cos3\theta + \cos5\theta}{16}
\end{eqnarray}

どうでしょうか?これだけ計算すれば、Euler の公式を使う「勘」がついたのではないでしょうか?

複雑な三角関数の式が出てきたら、Euler の公式を使って簡単に出来ないか試してみると見通しよく計算が出来ると思います。

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