【ラマヌジャンに挑戦】

ラマヌジャンに挑戦[1]

有名なインドの天才数学者ラマヌジャン(Srinivasa Aiyangar Ramanujan、1887年12月22日 – 1920年4月26日) は一見すると摩訶不思議な膨大な数の公式を残しています。
その中でも、高校数学の知識で解くことの出来るものについて解説したいと思います。

\begin{eqnarray}
3 &=& \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4 \sqrt{1 + 5 \sqrt{1 + \cdots}}}}}
\end{eqnarray}

見るからに不思議ですが、証明は意外と簡単です。

\begin{eqnarray}
3 &=& \sqrt{9} \\
&=& \sqrt{1 + 2 \times 4} \\
&=& \sqrt{1 + 2 \sqrt{16}} \\
&=& \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \times 5}} \\
&=& \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{25}}} \\
&=& \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4 \sqrt{36}}}} \\
&=& \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4 \sqrt{1 + \cdots}}}}
\end{eqnarray}

Quiz

これをヒントにして、次の値を求めて下さい。
\begin{eqnarray}
\sqrt{1 – \sqrt{1 – \frac{1}{2}\sqrt{1 – \frac{1}{4}\sqrt{1 – \frac{1}{8}\sqrt{\cdots}}}}}
\end{eqnarray}

答えが分かった方は、ぜひ、コメント欄に書き込んで下さい!

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