【数学IIB】

2020年(令和2年)数学IIB【第4問】

(1)

\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{OA}| &=& \sqrt{3^2 + 3^2 + (-6)^2} \\
&=& \sqrt{54} \\
&=& 3 \sqrt{6} \\
|\overrightarrow{OB}| &=& \sqrt{(2 + 2 \sqrt{3})^2 + (2 – 2 \sqrt{3})^2 + (-4)^2} \\
&=& \sqrt{48} \\
&=& 4 \sqrt{3} \\
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OB} &=& 3 (2 + 2 \sqrt{3}) + 3 (2 – 2 \sqrt{3}) + (-6)(-4)\\
&=& 36
\end{eqnarray}

(2)

$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OC}$ より
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} &=& 0 \\
\overrightarrow{OA} \cdot (s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}) &=& 0 \\
|\overrightarrow{OA}|^2 s + (\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}) t &=& 0 \\
54 s + 36 t &=& 0 \\
3 s + 2 t &=& 0
\end{eqnarray}
が得られる。

さらに、$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} = 24$ より
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} &=& 24 \\
\overrightarrow{OB} \cdot (s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}) &=& 24 \\
s (\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}) + t |\overrightarrow{OB}|^2 &=& 24 \\
36 s + 48 t &=& 24 \\
3 s + 4 t &=& 2
\end{eqnarray}

これより
\begin{eqnarray}
t &=& 1 \\
s &=& – \frac{2}{3}
\end{eqnarray}
が得られる。

従って、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OC} &=& – \frac{2}{3} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \\
&=& – \frac{2}{3} (3, 3, -6) + (2 + 2 \sqrt{3}, 2 – 2 \sqrt{3}, – 4) \\
&=& (2 \sqrt{3}, – 2 \sqrt{3}, 0)\\
|\overrightarrow{OC}| &=& \sqrt{(2 \sqrt{3})^2 + (- 2 \sqrt{3})^2} \\
&=& \sqrt{24} \\
&=& 2 \sqrt{6}
\end{eqnarray}
が得られる。

(3)

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{CB} &=& \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OC} \\
&=& (2 + 2 \sqrt{3}, 2 – 2 \sqrt{3}, – 4) – (2 \sqrt{3}, – 2 \sqrt{3}, 0) \\
&=& (2, 2, – 4)
\end{eqnarray}

四角形 $OABC$ について考えると、$\overrightarrow{OA} = (3, 3, -6)$ であり、今、$\overrightarrow{CB} = (2, 2, -4)$ が言えたので、$OA \parallel CB$ が成り立つことが分かる。

また、$OA \perp OC$ であり、$|\overrightarrow{OA}| \neq |\overrightarrow{CB}|$ より、四角形 $OABC$ は「平行四辺形ではないが台形である」ことが分かる。

$|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(2^2 + 2^2 + (-4)^2} = 2 \sqrt{6}$ であるので、四角形 $OABC$ の面積は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} (3 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6}) \times 2 \sqrt{6} &=& 30
\end{eqnarray}
と求まる。

(4)

求める座標を $(x, y, 1)$ と置く。$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OD} = 0$ より
\begin{eqnarray}
(3, 3, -6) \cdot (x, y, 1) &=& 0 \\
3 x + 3 y – 6 &=& 0 \\
x + y &=& 2
\end{eqnarray}
が得られ、$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD} = 2 \sqrt{6}$ より
\begin{eqnarray}
(2 \sqrt{3}, – 2 \sqrt{3}, 0)\cdot(x, y, 1) &=& 2 \sqrt{6} \\
2 \sqrt{3} x – 2 \sqrt{3} y &=& 2 \sqrt{6} \\
x – y &=& \sqrt{2}
\end{eqnarray}
が得られる。これら2つの方程式より、$x, y$ が決まり
\begin{eqnarray}
x &=& 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \\
y &=& 1 – \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray}
と求まる。

$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OC} = 2 \sqrt{6}$ と $|\overrightarrow{OC}| = 2 \sqrt{6}, |\overrightarrow{OD} = \sqrt{(1 + \sqrt{2}/2)^2 + (1 + \sqrt{2}/2)^2 + 1} = 2$ より、$\angle COD = \theta$ とすると
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD} = |\overrightarrow{OC}| |\overrightarrow{OD}| \cos\theta \\
2 \sqrt{6} &=& 2 \sqrt{6} 2 \cos]\theta \\
\cos\theta &=& \frac{1}{2} \\
\theta &=& 60^{\circ}
\end{eqnarray}
と求まる。

今までに得られた情報から、$O, A, B, C, D$ の位置関係を図示すると、次のようになる。



従って、四面体$DABC$ の高さは
\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{OD}| \sin 60^{\circ} &=& 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\
&=& \sqrt{3}
\end{eqnarray}
となる。

四面体 $DABC$ の底面積である三角形 $ABC$ の面積 $S$ は、台形 $OABC$ から三角形 $OAC$ の面積を引けば良いので
\begin{eqnarray}
S &=& 30 – \frac{1}{2} 3 \sqrt{6} \times 2 \sqrt{6} \\
&=& 12
\end{eqnarray}
となり、四面体 $DABC$ の体積 $V$ は
\begin{eqnarray}
V &=& \frac{1}{3} 12 \times \sqrt{3} \\
&=& 4 \sqrt{3}
\end{eqnarray}
と求まる。

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