【数学IIB】

2020年(令和2年)数学IIB【第3問】

(1)

\begin{eqnarray}
a_2 &=& \frac{4}{2}(3 a_1 + 3^2 – 2 \cdot 3) \\
&=& 6
\end{eqnarray}

(2)

\begin{eqnarray}
b_1 &=& \frac{a_1}{3 \cdot 2 \cdot 3} \\
&=& 0
\end{eqnarray}
式1の両辺を $3^n (n + 2) (n + 3)$ で割ると
\begin{eqnarray}
\frac{a_{n + 1}}{3^{n + 1} (n + 2) (n + 3)} &=& \frac{1}{3^{n + 1} (n + 2) (n + 3)} \frac{n + 3}{n + 1} \left\{3 a_n + 3^{n + 1} – (n + 1) (n + 2) \right\} \\
b_{n + 1} &=& \frac{1}{3^n (n + 1) (n + 2)} \left\{a_n + 3^n – \frac{(n + 1)(n + 2)}{3}\right\} \\
&=& b_n + \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} – \left(\frac{1}{3}\right)^{n + 1}
\end{eqnarray}
が得られる。従って
\begin{eqnarray}
b_{n + 1} – b_n &=& \left(\frac{1}{n + 1} – \frac{1}{n + 2}\right) – \left(\frac{1}{3}\right)^{n + 1}
\end{eqnarray}
となる。

ここで、$n$ を $2$ 以上の自然数とする時
\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^{n – 1} \left(\frac{1}{k + 1} – \frac{1}{k + 2}\right) &=&
\left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n + 1}\right) \\
&=& \frac{1}{2} – \frac{1}{n + 1} \\
&=& \frac{1}{2} \frac{n – 1}{n + 1}
\end{eqnarray}
が成り立つ。また
\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^{n – 1} \left(\frac{1}{3}\right)^{k + 1} &=& \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \cdots + \left(\frac{1}{3}\right)^n \\
&=& \left(\frac{1}{3}\right)^2 \frac{1 – \left(\frac{1}{3}\right)^{n – 1}}{1 – \frac{1}{3}} \\
&=& \frac{1}{6} – \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^n
\end{eqnarray}
も成立する。

従って、
\begin{eqnarray}
b_n &=& (b_n – b_{n – 1}) + (b_{n – 1} – b_{n – 2}) + \cdots + (b_2 – b_1) \\
&=& \sum_{k = 1}^{n – 1}\left(\frac{1}{k + 1} – \sum_{k = 1}^{n – 1}\right) \left(\frac{1}{3}\right)^{k + 1} \\
&=& \frac{1}{2} \frac{n – 1}{n + 1} – \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^n \\
&=& \frac{n – 2}{3 (n + 1)} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^n
\end{eqnarray}
となる。また、$n = 1$ を上式に代入すると、
\begin{eqnarray}
\frac{-1}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} &=& 0
\end{eqnarray}
となり、$b_1 = 0$ も満たしていることが分かる。

(3)

\begin{eqnarray}
a_n &=& 3^n (n + 1) (n + 2) b_n \\
&=& 3^n (n + 1) (n + 2) \left\{\frac{n – 2}{3 (n + 1)} + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^n\right\} \\
&=& 3^{n – 1}(n^2 – 4) + \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}
\end{eqnarray}
と求められる。第一項は明らかに整数であり、第二項は隣り合う2つの整数の積は偶数であるので、第二項も整数となることが分かり、すべての自然数 $n$ について $a_n$ は整数となることが分かる。

(4)

\begin{eqnarray}
a_{3k} &=& 3^{3k – 1}(9 k^2 – 4) + \frac{(3 k + 1)(3 k + 2)}{2}
\end{eqnarray}
となるが、第1項は明らかに3の倍数である。第2項は
\begin{eqnarray}
\frac{(3k + 1)(3k + 2)}{2} &=& \frac{9 k^2 + 9 k + 2}{2} \\
&=& 9 \frac{k (k + 1)}{2} + 1
\end{eqnarray}
より、3で割った余りは 1 となる。

\begin{eqnarray}
a_{3 k + 1} &=& 3^{3k + 1 – 1}((3k + 1)^2 – 4) + \frac{(3k + 2)(3k + 3)}{2}
\end{eqnarray}
となるが、第1項は明らかに3の倍数である。第2項は
\begin{eqnarray}
\frac{(3k + 2)(3k + 3)}{2} &=& \frac{9 k^2 + 15 k + 6}{2} \\
&=& 3 \cdot \frac{3 k^2 + 5k + 2}{2} \\
&=& 3 \cdot \left(3 \frac{k(k + 1)}{2} + k + 1\right)
\end{eqnarray}
となり、3で割った余りは0となる。

\begin{eqnarray}
a_{3k + 2} &=& 3^{3 k + 2 – 1}((3 k + 2)^2 – 4) + \frac{(3 k + 3)(3 k + 4)}{2}
\end{eqnarray}
となり、第1項は明らかに3の倍数である。第2項は
\begin{eqnarray}
\frac{(3 k + 3)(3 k + 4)}{2} &=& 3 \cdot \frac{(k + 1)(3k + 4)}{2} \\
&=& 3 \cdot \left(3 \cdot \frac{k (k + 1)}{2} + 2\right)
\end{eqnarray}
となり、3で割った余りは0となる。

また、$\left\{a_n\right\}$ を初項から第2020項までの和を取ると、$a_1 + a_2 + a_3$ で余りが1となり、$a_4 + a_5 + a_6$ で余りが1となる。そうすると、$2020 = 3 \times 673 + 1$ から、初項から3項ずつ和を取ったものは各々3で割った余りが1となるが、それが673個だけある。$637 = 3 \times 224 + 1$ なので、初項から $a_{2019}$ まで足した数を $3$ で割った余りは 1 となる。最後の $a_{2020}$ は $2020 = 3 \times 673 + 1$ なので3の倍数である。従って、初項から $a_{2020}$ まで足した数を 3 で割った余りは 1 となる。

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