【数学IIB】

2020年(令和2年)数学IIB【第1問】[2]

(1)

\begin{eqnarray}
t^{\frac{1}{3}} – t^{- \frac{1}{3}} &=& -3
\end{eqnarray}
より、両辺を2乗して
\begin{eqnarray}
\left(t^{\frac{1}{3}} – t^{- \frac{1}{3}}\right)^2 &=& (-3)^2 \\
t^{\frac{2}{3}} + t^{- \frac{2}{3}} – 2 &=& 9 \\
t^{\frac{2}{3}} + t^{- \frac{2}{3}} &=& 11
\end{eqnarray}
と求まる。

さらに、
\begin{eqnarray}
\left(t^{\frac{1}{3}} + t^{- \frac{1}{3}}\right)^2 &=& t^{\frac{2}{3}} + t^{- \frac{2}{3}} + 2 \\
&=& 11 + 2 \\
&=& 13 \\
t^{\frac{1}{3}} + t^{- \frac{1}{3}} &=& \sqrt{13}
\end{eqnarray}
が得られる。ここで、$t > 0$ より $t^{\frac{1}{3}} > 0, t^{- \frac{1}{3}} > 0$ を用いた。

最後に
\begin{eqnarray}
\left(t^{\frac{1}{3}} – t^{- \frac{1}{3}}\right) \left(t^{\frac{2}{3}} + t^{- \frac{2}{3}}\right) &=&
t – t^{-1} + t^{- \frac{1}{3}} – t^{\frac{1}{3}} \\
-3 \times 11 &=& t – t^{-1} – (-3) \\
t + t^{-1} &=& -36
\end{eqnarray}
が得られる。

(2)

2式は
\begin{eqnarray}
\log_3(x \sqrt{y}) &\le& 5 \\
\log_3 x + \log_3 \sqrt{y} &\le& 5 \\
\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 y &\le& 5 \\
2 \log_3 x + \log_3 y &\le& 10 \\
2 X + Y &\le& 10
\end{eqnarray}
と変形される。

次に、3式は
\begin{eqnarray}
\log_{81}y – \log_{81} x^3 &\le& 1 \\
\frac{\log_3 y}{\log_3 81} – 3 \frac{\log_3 x}{\log_3 81} &\le& 1 \\
\frac{1}{4} Y – \frac{3}{4} X &\le& 1 \\
Y – 3 X &\le& 4 \\
3 X – Y &\ge& – 4
\end{eqnarray}
と変形される。

上記で得られた2つの関係式を $Y$ に対する条件として書き直すと
\begin{eqnarray}
Y &\le& – 2 X + 10 \\
Y &\le& 3 X + 4
\end{eqnarray}
となるが、これから $X$ を消去すると
\begin{eqnarray}
3 Y + 2 Y &\le& 30 + 8 \\
Y &\le& \frac{38}{5}
\end{eqnarray}
となり、$Y$ の取りうる最大の整数は $7$ であることが分かる。

$Y = 7$ を上で得られた2つの不等式に代入すると
\begin{eqnarray}
2 X + 7 &\le& 10 \\
X &\le& \frac{3}{2}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
3 X – 7 &\ge& – 4 \\
X &\ge& 1
\end{eqnarray}
なる2式が得られる。
すなわち、
\begin{eqnarray}
1 \le X \le \frac{3}{2}
\end{eqnarray}
となる。$X = \log_3 x$ について $x > 0$ において $X$ は単調に増加するので、$x$ の最大値は $X$ の最大値を求めれば良いので
\begin{eqnarray}
X &\le& \frac{3}{2} \\
\log_3 x &\le& \frac{3}{2} \\
3^{\log_3 x} &\le& 3^{\frac{3}{2}} \\
x &\le& \sqrt{27}
\end{eqnarray}
となる。これより、最大の整数 $x$ は $5$ であることが分かる。

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