【数学IIB】

2020年(令和2年)数学IIB【第1問】[1]

(1)

加法定理を使うと
\begin{eqnarray}
\sqrt{3} \cos\left(\theta – \frac{\pi}{3}\right) &=& \sqrt{3}\left(\cos\theta \cos\frac{\pi}{3} + \sin\theta \sin\frac{\pi}{3}\right) \\
&=& \sqrt{3}\left(\frac{1}{2} \cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\theta\right) \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\theta + \frac{3}{2} \sin\theta
\end{eqnarray}
となる。

従って
\begin{eqnarray}
\sin\theta – \sqrt{3}\cos\left(\theta – \frac{\pi}{3}\right) &>& 0 \\
\sin\theta – \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\theta + \frac{3}{2} \sin\theta \right) &>& 0 \\
\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\theta + \frac{1}{2} \sin\theta &<& 0 \\ \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) &<& 0 \end{eqnarray} となり \begin{eqnarray} \pi < \theta + \frac{\pi}{3} < 2 \pi \\ \frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{5}{3} \pi \end{eqnarray} と求まる。

(2)

\begin{eqnarray}
25 x^2 – 35 x + k &=& 0 \\
x^2 – \frac{7}{5} x + \frac{k}{25}&=& 0
\end{eqnarray}
と変形され、この方程式の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると
\begin{eqnarray}
(x – \alpha) (x – \beta) &=& 0 \\
x^2 – (\alpha + \beta) x + \alpha \beta &=& 0
\end{eqnarray}
となることから、
\begin{eqnarray}
\alpha + \beta &=& \frac{7}{5} \\
\alpha \beta &=& \frac{k}{25}
\end{eqnarray}
なる方程式が得られる。ここで、$\sin\theta, \cos\theta$ が、この方程式の解であることから
\begin{eqnarray}
\alpha^2 + \beta^2 &=& 1
\end{eqnarray}
が成り立つので
\begin{eqnarray}
(\alpha + \beta)^2 &=& \left(\frac{7}{5}\right)^2 \\
\alpha^2 + \beta^2 + 2 \alpha \beta &=& \frac{49}{25} \\
2 \alpha \beta &=& \frac{24}{25} \\
\alpha \beta &=& \frac{12}{25}
\end{eqnarray}
が得られる。これより、
\begin{eqnarray}
k &=& 12
\end{eqnarray}
と求まる。

この時、もとの2次方程式は
\begin{eqnarray}
25 x^2 – 35 x + 12 &=& 0 \\
(5 x – 4) (5 x – 3) &=& 0
\end{eqnarray}
と因数分解出来るので、$\sin\theta \ge \cos\theta$ なる条件を考慮して
\begin{eqnarray}
\sin\theta &=& \frac{4}{5} = 0.8 \\
\cos\theta &=& \frac{3}{5}
\end{eqnarray}
が得られる。

さらに、
\begin{eqnarray}
\sin\frac{\pi}{4} &=& \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.707… \\
\sin\frac{\pi}{3} &=& \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.86…
\end{eqnarray}
から
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{4} \le \theta < \frac{\pi}{3} \end{eqnarray} が得られる。

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