【数学IA】

2020年(令和2年)数学ⅠA【第5問】



先ず、三角形 $ABC$ にチェバの定理を使えば
\begin{eqnarray}
\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AG}{GB} &=& 1 \\
\frac{7}{1} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{AG}{GB} &=& 1 \\
\frac{GB}{AG} &=& 1
\end{eqnarray}
が得られる。



次に、三角形 $ADC$ と直線 $BE$ に対してメネラウスの定理を用いて
\begin{eqnarray}
\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} &=& 1 \\
\frac{7}{1} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{DF}{FA} &=& 1 \\
\frac{FD}{AF} &=& \frac{1}{8}
\end{eqnarray}
が得られる。



さらに、三角形 $BCG$ と直線 $AD$ に対してメネラウスの定理を用いて
\begin{eqnarray}
\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BA}{AG} \cdot \frac{GF}{FC} &=& 1 \\
\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{GF}{FC} &=& 1 \\
\frac{FC}{GF} &=& \frac{2}{7}
\end{eqnarray}
が得られる。

次に、三角形 $CDG$ と三角形 $BFG$ の比を求める。
$AG:GB = 1:1$ に注意すると、三角形 $BFG$ の面積と三角形 $AFG$ の面積は等しい事が分かる。



今、$AF:FD = 8:1$ と得られたので、三角形 $AFG$ の面積(すなわち三角形 $BFG$ の面積)を $1$ とすると、三角形 $GDF$ の面積は $\frac{1}{8}$ である。



さらに、$CF: FG = 2:7$ と得られていたので、三角形 $FDC$ の面積は三角形 $GDF$ の $\frac{2}{7}$ であることが分かる。



結局、三角形 $BFG$ の面積を $1$ とするとき、三角形 $CDG$ の面積は $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{9}{56}$ となる。

従って
\begin{eqnarray}
\frac{\mbox{三角形}CDG\mbox{の面積}}{\mbox{三角形}BFG\mbox{の面積}} = \frac{9}{56}
\end{eqnarray}
が得られる。



さらに、4点 $B, D, F, G$ が同一円周上にあるので、4点 $B, D, F, G$ を通る円と2直線 $AB$ と $AD$ に対して方べきの定理を用いて
\begin{eqnarray}
AF \cdot AD &=& AG \cdot AB \\
8 \cdot 9 &=& \frac{AB}{2} \cdot AB \\
AB^2 &=& 16 \cdot 9 \\
AB &=& 12
\end{eqnarray}
が得られる。

さらに、$AE = 3 \sqrt{7}$ であるとき、$AE:EC = 7:1$ を用いると
\begin{eqnarray}
AE \cdot AC &=& 3 \sqrt{7} \times 3 \sqrt{7} \cdot \frac{8}{7} \\
&=& 72
\end{eqnarray}
が得られる。



今、$AB = 12$ が得られていることに注意すれば、$AG \cdot AB = 6 \cdot 12 = 72$ となり、$AE \cdot AC$ と等しくなる。従って、方べきの定理の逆を使えば、4点 $G, B, C, E$ は同一円周上にあることが分かる。従って、内接する4角形の向かい合う角の角度の和は $180^{\circ}$ に等しいので、角 $AEG$ と角 $ABC$ は等しいことが分かる。

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