【数学IA】

2020年(令和2年)数学ⅠA【第4問】

(1)

\begin{eqnarray}
100 x &=& 236.\dot{3}\dot{6} \\
x &=& – 2.\dot{3}\dot{6}
\end{eqnarray}
上記2式の辺々を引くと
\begin{eqnarray}
99 x &=& 234 \\
x &=& \frac{234}{99} = \frac{26}{11}
\end{eqnarray}
と求まる。

(2)

7進法で表した数字を $x_{(7)}$ で表すことにする。何も下付きの添字をつけないものは10進数で表しているものとする。

\begin{eqnarray}
49 = 7^2 = 100_{(7)}
\end{eqnarray}
に注意すれば
\begin{eqnarray}
49 \times y – y &=& 2ab.\dot{a}\dot{b}_{(7)} – 2.\dot{a}\dot{b}_{(7)} \\
48 y &=& 2ab_{(7)} -2_{(7)} \\
48 y &=& 2 \times 7^2 + a \times 7^1 + b \times 7^0 – 2 \times 7^0 \\
48 y &=& 98 – 2 + 7 a + b \\
y &=& \frac{96 + 7 a + b}{48}
\end{eqnarray}
と求まる。

(i)

\begin{eqnarray}
y &=& \frac{8 + (7 a + b)/12}{4}
\end{eqnarray}
となるので、$y$ が分子が奇数で分母が $4$ であるということは
\begin{eqnarray}
\frac{7 a + b}{12} &=& 2n + 1,\ (n = 0, 1, 2, \cdots) \\
7 a + b &=& 12 (2 n + 1) \\
7 a + b &=& 24 n + 12
\end{eqnarray}
となり、$n = 0$ のとき
\begin{eqnarray}
7 a + b &=& 12 \\
7 a + b &=& 7 \times 1 + 5
\end{eqnarray}
より、$a = 1, b = 5$ と求まり
\begin{eqnarray}
y &=& \frac{8 + 1}{4} \\
&=& \frac{9}{4}
\end{eqnarray}
となる。

$n = 1$ のときには
\begin{eqnarray}
7 a + b &=& 24 + 12 \\
7 a + b &=& 36 \\
7 a + b &=& 7 \times 5 + 1
\end{eqnarray}
より、$a = 5, b = 1$ と求まる。このとき
\begin{eqnarray}
y &=& \frac{8 + 3}{4} \\
&=& \frac{11}{3}
\end{eqnarray}
と求まる。

$n$ が $2$ 以上のときには、
\begin{eqnarray}
7 a + b &=& 24 n + 12 \ge 60
\end{eqnarray}
となり、$a, b$ の取りうる値で一番大きい場合 $a = 6, b= 6$ でも $48$ となり、上式を満たす $a, b$ は存在しない。

(ii)

\begin{eqnarray}
y – 2 &=& \frac{96 + 7 a + b}{48} – 2 \\
&=& \frac{7 a + b}{48}
\end{eqnarray}
となる。ここで、$48 = 2^4 \times 3$ であることに注意して、分子が $1$ で分母が $2$ 以上の整数である分数となるためには、分子が $48$ 以外の $48$ の約数であれば良い。
$48$ の約数は全部で $5 \times 2 = 10$ 個($48$ を含む)あり、48以外のそれらをすべて具体的にあげて、そのときの $a, b$ の値を求めると
\begin{eqnarray}
\begin{array}{cc}
1 & a = 0, b = 1 \\
2 & a = 0, b = 2 \\
3 & a = 0, b = 3 \\
4 & a = 0, b= 4 \\
6 & a = 0, b = 6 \\
8 & a = 1, b = 1 \\
12 & a = 1, b = 5 \\
16 & a = 2, b = 2 \\
24 & a = 3, b = 3 \\
\end{array}
\end{eqnarray}
となる。このとき、$a \neq b$ を満たすのは $6$ 通りである。

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