【数学IA】

2020年(令和2年)数学ⅠA【第3問】[2]

(1)

コインを2回投げ終わって持ち点が $-2$ 点であるのは、2回ともに裏が出る場合のみであるので、その確率は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} &=& \frac{1}{4}
\end{eqnarray}
である。

また、コインを2回投げ終わって持ち点が $1$ 点であるのは、2回のうち表が1回、裏が1回でるときであるので、
\begin{eqnarray}
\begin{array}{ccc}
(a) & \bigcirc & \times \\
(b) & \times & \bigcirc \\
\end{array}
\end{eqnarray}
の2通りである。ここに $\bigcirc$ は表を $\times$ は裏を表す。

従って、この事象が起こる確率は
\begin{eqnarray}
2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} &=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray}
となる。

(2)

持ち点が再び $0$ 点になることが起きる最小の場合は、1回表が出て、2回裏が出るときであるので、3回投げ終わったときに、この事象が起こる可能性がある。
そして、その確率は、3回のうち1回表、2回裏が出る場合なので以下の3通りの場合がある。
\begin{eqnarray}
\begin{array}{cccc}
(a) & \bigcirc & \times & \times \\
(b) & \times & \bigcirc & \times \\
(c) & \times & \times & \bigcirc \\
\end{array}
\end{eqnarray}

従って、その確率は
\begin{eqnarray}
3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} &=& \frac{3}{8}
\end{eqnarray}
である。

(3)

ゲームが終了した時点で持ち点が $4$ 点であるのは、表が3回、裏が2回出る場合である。それは、以下に示す場合がある。

\begin{eqnarray}
\begin{array}{cccccc}
(a) & \times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc \\
(b) & \times & \bigcirc & \times & \bigcirc & \bigcirc \\
(c) & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times & \bigcirc \\
(d) & \times & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \times \\
(e) & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc & \bigcirc \\
(f) & \bigcirc & \times & \bigcirc & \times & \bigcirc \\
(g) & \bigcirc & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times \\
(h) & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc \\
(i) & \bigcirc & \bigcirc & \times & \bigcirc & \times \\
(j) & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times \\
\end{array}
\end{eqnarray}

しかしながら、この中で途中で $0$ 点になるものは、その時点でゲームが終了するので、ゲームが終了した時点で $4$ 点とはなりえない。

具体的には、$(a), (b), (e)$ は途中で $0$ 点になってしまう。
従って、ゲーム終了時に $4$ 点であるのは、上に示した $10$ 通りのうちの $3$ 通りを除いた $7$ 通りである。

すなわち、その確率は
\begin{eqnarray}
7 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 &=& \frac{7}{32}
\end{eqnarray}
である。

(4)

ゲームが終了した時点で持ち点が $4$ 点であるときに、コインを2回投げ終わったときに持ち点が $1$ 点であるのは、$(c), (d), (f), (g)$ の $4$ 通りである。

従って、このような事象が起こる条件付き確率は
\begin{eqnarray}
\frac{\frac{4}{32}}{\frac{7}{32}} &=& \frac{4}{7}
\end{eqnarray}
と求まる。

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