【数学IA】

2020年(令和2年)数学ⅠA【第3問】[1]

(0)

一枚のコインを5回投げて少なくとも1回は表が出る確率 $p$ は、$1$ から5回全て裏が出る確率を引けば良いので
\begin{eqnarray}
p &=& 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^5 \\
&=& \frac{31}{32} = 0.96… > 0.95
\end{eqnarray}
となり、正しい記述である。

(1)

5回の試行で3回赤球が出たからといって、一回の試行で赤球が出る確率が $\frac{3}{5}$ であるとは限らないので、これは正しくない記述である。

(2)

二枚ある「ろ」と「は」のカードを各々区別すると、5枚のカードから2枚のカードを選ぶ選び方は
\begin{eqnarray}
{}_5 C_{2} &=& \frac{5!}{3! 2!} \\
&=& 10
\end{eqnarray}
通りある。2枚とも同じ文字である場合の数は、「ろ」の2枚、「は」の2枚が取り出された場合の2通りなので、その確率は $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ である。
従って、2枚のカードに違う文字が書かれている確率は
\begin{eqnarray}
1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
\end{eqnarray}
となり、正しい記述である。

(3)
この場合には、条件付きの確率を計算する必要がある。

2体のロボットがともに「オモテ」と発言する場合は次の2通りである。

(i) コインの表が出て、2体のロボットが共に「オモテ」と発言する
この確率は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \times 0.9 \times 0.9
\end{eqnarray}
である。

(ii) コインの裏が出て、2体のロボットが共に「オモテ」と発言する。
この確率は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.1 = 0.01
\end{eqnarray}
である。

従って、2体のロボットが共に「オモテ」と発言する確率は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \times 0.9 \times 0.9 + \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.1
\end{eqnarray}
であり、実際にオモテが出ている確率は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \times 0.9 \times 0.9
\end{eqnarray}
である。

従って、2体のロボットが「オモテ」と発言した条件の元で、実際に表である確率は
\begin{eqnarray}
\frac{\frac{1}{2} \times 0.9 \times 0.9}{\frac{1}{2} \times 0.9 \times 0.9 + \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.1} = \frac{81}{82} = 0.98… > 0.9
\end{eqnarray}
であるので、これは正しくない記述である。

3は両方のロボットが「オモテ」と発言したという条件の元での確率であるので、条件付きの確率を計算する必要がある。

事象 $B$ が起こるという条件の元で事象 $A$ が起きる確率 $P(A|B)$ は
\begin{eqnarray}
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\end{eqnarray}
で求められる。

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