【数学IA】

2020年(令和2年)数学ⅠA【第2問】[1]



三角形 $BCD$ について $\angle BCD$ に注目して余弦定理を用いると
\begin{eqnarray}
(BD)^2 &=& (BC)^2 + (CD)^2 – 2 (BC)(CD) \cos\angle BCD \\
&=& (2 \sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 – 2(2 \sqrt{2})(\sqrt{2}) \frac{3}{4} \\
&=& 4 \\
BD &=& 2
\end{eqnarray}
と求まる。ここで、三角形の辺の長さ $BD$ は正であることを用いた。

三角形 $BCD$ の3辺の長さが全て分かったので、三角形 $BCD$ において正弦定理を用いると
\begin{eqnarray}
\frac{BC}{\sin\angle CDB} &=& \frac{BD}{\sin\angle BCD}
\end{eqnarray}
が成り立つ。

$\cos\angle BCD$ が分かっているので、$\sin\angle BCD$ も
\begin{eqnarray}
\sin^2\angle BCD &=& 1 – \cos^2\angle BCD \\
&=& 1 – \left(\frac{3}{4}\right)^2 \\
&=& \frac{7}{16} \\
\sin\angle BCD &=& \frac{\sqrt{7}}{4}
\end{eqnarray}
と求まる。ここで、$\sin\angle BCD > 0$ を用いた。

また、$\sin\angle ADC = \sin(180 – \angle BCD) = \sin\angle BCD$ が成り立つので
\begin{eqnarray}
\sin\angle ADC &=& \sin \angle CDB \\
&=& \frac{BC}{BD} \sin\angle BCD \\
&=& \frac{2 \sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{7}}{4} \\
&=& \frac{\sqrt{14}}{4}
\end{eqnarray}
と求まる。

また、三角形 $ACD$ に注目して、正弦定理を用いると
\begin{eqnarray}
\frac{AD}{\sin\angle ACD} &=& \frac{AC}{\sin\angle ADC} \\
\frac{AC}{AD} &=& \frac{\sin\angle ADC}{\sin\angle ACD} \\
&=& \frac{\frac{\sqrt{14}}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} \\
&=& \sqrt{2}
\end{eqnarray}
と求まる。

次の三角形の角の二等分線と辺の長さの比の関係を用いると、即座に答えがでる。

下図のような三角形 $ABC$ において、$\angle BAC$ を二等分する線と辺 $BC$ との交点を $D$ とすると、次の関係が成り立つ。
\begin{eqnarray}
BD:CD = AB:AC
\end{eqnarray}



$AD = x$ とおいて、三角形 $ACD$ の $\angle ACD (= \angle BCD)$ について余弦定理を使うと
\begin{eqnarray}
AD^2 &=& AC^2 + DC^2 -2 (AC) (DC) \cos\angle ACD \\
x^2 &=& (\sqrt{2} x)^2 + (\sqrt{2})^2 – 2 (\sqrt{2} x)(\sqrt{2}) \frac{3}{4} \\
0 &=& x^2 – 3 x + 2 \\
0 &=& (x – 1) (x – 2) \\
x &=& 1\ \mbox{or}\ 2
\end{eqnarray}
が得られる。

ここで、$x = 2$ とすると、三角形 $ACD$ と三角形 $BCD$ は合同となり、$\angle ADC = 90^{\circ}$ となり、先に求めた $\sin\angle ACD = \frac{\sqrt{14}}{4}$ と矛盾する。
従って、
\begin{eqnarray}
AD &=& 1
\end{eqnarray}
となる。

最後に三角形 $ACD$ について正弦定理を用いることを考える。
そのために、$\sin\angle ACB$ を求める。
\begin{eqnarray}
\sin\angle ACB &=& \sin(2 \angle BCD) \\
&=& 2 \sin\angle BCD \cos\angle BCD \\
&=& 2 \frac{\sqrt{7}}{4} \frac{3}{4} \\
&=& \frac{3 \sqrt{7}}{8}
\end{eqnarray}
となるので、三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ として、正弦定理により
\begin{eqnarray}
\frac{AB}{\sin\angle ACB} &=& 2 R \\
R &=& \frac{1}{2} \frac{2 + 1}{\frac{3 \sqrt{7}}{8}} \\
&=& \frac{4 \sqrt{7}}{7}
\end{eqnarray}
が得られる。

三角形$ABC$を考える時に各頂点$A, B, C$ に向かい合う辺の長さを各々 $a, b, c$ とすると

【正弦定理】
\begin{eqnarray}
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R
\end{eqnarray}
ここに $R$ は三角形 $ABC$ の外接円の半径である。

【余弦定理】
\begin{eqnarray}
a^2 = b^2 + c^2 – 2 b c \cos A
\end{eqnarray}

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