【数学IA】

2020年(令和2年)数学ⅠA【第1問】[2]

(1)

32 は 4 の倍数なので $32 \in P$.
32 は 6 の倍数ではないので $32 \in \bar{Q}$.
32 は 24 の倍数ではないので $32 \in \bar{R}$.

従って、$32 \in P \cap \bar{Q} \cap \bar{R}$ である。

ここで、24 の倍数は 6 の倍数でもあるので $ R \subset Q$ となり、$\bar{R} \supset \bar{Q}$ が言える。
従って、$\bar{Q} \cap \bar{R} = \bar{Q}$ となる。

つまり、先ほどの関係は $32 \in P \cap \bar{Q} \cap \bar{R} = P \cap \bar{Q}$ となる。



集合の問題を扱うときには「ベン図」を使うと便利!

(2)

$P \cap Q$ は 4 の倍数であり、かつ 6 の倍数である自然数の集合であるので、12の倍数である自然数の集合である。その中で最小のものは、12 である。

また、12 は 24 の倍数ではないので、$12 \notin R$ となる。

(3)

$12 \in P \cap Q$ であるので、「$(p$ かつ $q)$」 を満たす。しかしながら、先に見たように $12 \notin R$ であるので、$r$ を満たさない。

従って、12 は命題「$(p$ かつ $q) \Rightarrow r$」の反例である。

↓解答例のダウンロードはこちらから