【数学IA】

2020年(令和2年)数学ⅠA【第1問】[1]

(1)

直線 $l$ の傾きは、$x$ の前の係数の符号で決まる。係数が負の時、傾きは負となる。従って
\begin{eqnarray}
a^2 – 2 a – 8
\end{eqnarray}
の値が負となる $a$ の範囲を求めれば良い。これは $a$ に関する2次式であり、$a^2$ の係数が $1$ と正なので、$a$ の関数として下に凸の形となる。この $a$ についての2次多項式は次のように因数分解出来る。
\begin{eqnarray}
a^2 – 2 a – 8 &=& (a – 4) (a + 2)
\end{eqnarray}
従って、この値が負となる $a$ の範囲はグラフを参考にして
\begin{eqnarray}
– 2 < a < 4 \end{eqnarray} と求まる。



(2)

直線 $l$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標 $b$ についての条件が与えられているので、$b$ を $a$ で表すことを考える。
直線 $l$ との交点の $x$ 座標が $b$ ということは、直線 $l$ の方程式に $y = 0, x = b$ を代入すれば、方程式が成立するということであるので
\begin{eqnarray}
0 &=& (a^2 – 2 a – 8) b + a
\end{eqnarray}
が成り立つ。これを $b$ について解くと、問題で $a^2 – 2 a – 8 \neq 0$ という条件が与えられているので、この多項式で割ることが出来る。従って
\begin{eqnarray}
b &=& – \frac{a}{(a – 4) (a + 2)}
\end{eqnarray}
と求まる。

文字式で割り算をする時には、必ず $0$ でないことを確かめよう!

ここで、$a > 0$ の場合を考える。この時、$b > 0$ となるのは、
\begin{eqnarray}
(a – 4)(a + 2) < 0 \end{eqnarray} となる時である。すなわち \begin{eqnarray} -2 < a < 4 \end{eqnarray} なる条件が得られる。この条件と最初に仮定した条件 $a > 0$ が同時に成り立つのは
\begin{eqnarray}
0 < a < 4 \end{eqnarray} であることが導かれる。この条件において、$a^2 - 2 a - 8 \neq 0$ も成り立っていることに注意して欲しい。



次に $a \le 0$ の場合を考える。この時、$b > 0$ となるのは
\begin{eqnarray}
(a – 4) (a + 2 ) > 0
\end{eqnarray}
となる時である。従って、
\begin{eqnarray}
a > 4\ \mbox{or}\ a < -2 \end{eqnarray} なる条件が得られる。この条件と、仮定した条件 $a \le 0$ が同時に成り立つのは \begin{eqnarray} a < - 2 \end{eqnarray} となることが導かれる。この条件においても、$a^2 - 2 a - 8 \neq 0$ が成り立っていることに注意して欲しい。



最後に、$a = \sqrt{3}$ の時には、$b$ の式に代入すれば
\begin{eqnarray}
b &=& – \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 – 2 \sqrt{3} – 8} \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{- 3 + 2\sqrt{3} + 8} \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{5 + 2 \sqrt{3}}\\
&=& \frac{\sqrt{3}}{5 + 2 \sqrt{3}} \frac{5 – 2 \sqrt{3}}{5 – 2 \sqrt{3}} \\
&=& \frac{5 \sqrt{3} – 6}{5^2 – (2 \sqrt{3})^2} \\
&=& \frac{5 \sqrt{3} – 6}{13}
\end{eqnarray}
と求まる。

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