【数学IIB】

2019年(平成31年)数学IIB【第4問】

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ から、$OA \perp OB$ なので、$\angle AOC = 90^{\circ}$ となる。

このとk、三角形 $OAC$ の面積は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}|\vec{a}| |\vec{c}| &=& \frac{\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray}
と求まる。

(2)

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &=& (\overrightarrow{OA} – \overrightarrow{OB}) \cdot (\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OB}) \\
&=& (\vec{a} – \vec{b}) \cdot (\vec{c} – \vec{b}) \\
&=& \vec{a} \cdot \vec{c} – \vec{a} \cdot \vec{b} – \vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{b}|^2 \\
&=& 0 – 1 – 3 + 3 \\
&=& – 1
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{BA}|^2 &=& |\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2 – 2 \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} \\
&=& 1 + 3 – 2 \\
&=& 2 \\
|\overrightarrow{BA}| &=& \sqrt{2}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{BC}|^2 &=& |\overrightarrow{OB}|^2 + |\overrightarrow{OC}|^2 – 2 \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} \\
&=& 3 + 5 – 2\cdot 3 \\
&=& 2 \\
|\overrightarrow{BC}| &=& \sqrt{2}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &=& |\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}| \cos\theta \\
-1 &=& \sqrt{2} \sqrt{2} \cos\theta \\
\cos\theta &=& – \frac{1}{2} \\
\theta &=& -120^{\circ}
\end{eqnarray}

$AD$ と $BC$ が並行であるので
\begin{eqnarray}
\angle BAD = \angle ADC = 60^{\circ}
\end{eqnarray}
と求まる。

従って、$AD = 2 \sqrt{2}$ となり、$\overrightarrow{AD} = 2 \overrightarrow{BC}$ となる。

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OD} &=& \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \\
\end{eqnarray}
において、$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BC}$ に注意して
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OD} &=& \vec{a} + 2 \overrightarrow{BC} \\
&=& \vec{a} – 2 \vec{b} + 2 \vec{c}
\end{eqnarray}
となる。

また、四角形 $ABCD$ の面積は四角形 $ABCD$ は台形であることに注意して
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} (\sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray}
となる。

(3)

$\overrightarrow{BH}$ と $\vec{a}$、$\overrightarrow{BH}$ と $\vec{c}$ は直交しているので
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{BH} \cdot \vec{a} &=& 0 \\
\overrightarrow{BH} \cdot \vec{c} &=& 0
\end{eqnarray}
が成り立つ。

従って
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{BH} \cdot \vec{a} &=& 0 \\
(\overrightarrow{OH} – \overrightarrow{OB}) \cdot \vec{a} &=& 0 \\
(s \vec{a} + t \vec{c} – \vec{b})\cdot\vec{a} &=& 0 \\
s &=& 1 \\
\overrightarrow{BH} \cdot \vec{c} &=& 0 \\
(s \vec{a} + t \vec{c} – \vec{b})\cdot \vec{c} &=& 0 \\
5 t – 3 &=& 0 \\
t &=& \frac{3}{5}
\end{eqnarray}
と求められる。

これより、
\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{BH}|^2 &=& |\vec{a} – \vec{b} + \frac{3}{5}\vec{c}|^2 \\
&=& \frac{1}{5} \\
|\overrightarrow{BH}| &=& \frac{\sqrt{5}}{5}
\end{eqnarray}
と求まる。

また、三角形 $OAC$ の面積は(1)より $\frac{\sqrt{5}}{2}$ と求められていたので
\begin{eqnarray}
V &=& \frac{1}{3} \frac{\sqrt{5}}{2} \frac{\sqrt{5}}{5} \\
&=& \frac{1}{6}
\end{eqnarray}
と求められる。

(4)

四角形 $ABCD$ の面積は三角形 $ABC$ の面積の3倍であるので、四角錐 $OABCD$ の体積は $3V$ と表される。

従って、四角形 $ABCD$ を底面とする四角錐 $OABCD$ の高さを $h$ とすると
\begin{eqnarray}
3 V &=& \frac{1}{3} \frac{3 \sqrt{3}}{2} h \\
h &=& \frac{\sqrt{3}}{3}
\end{eqnarray}
と求まる。

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