【数学IIB】

2019年(平成31年)数学IIB【第3問】

(1)

数列 $\{S_n\}$ は初項 3、公比 4 の等比級数の初項から第 $n$ 項までの和であるので
\begin{eqnarray}
S_n &=& 3 \frac{1 – 4^n}{1 – 4} \\
&=& 4^n – 1
\end{eqnarray}
と求まる。

従って、$S_2 = 15$ となる。

また
\begin{eqnarray}
T_2 – T_1 &=& S_1 \\
T_2 &=& S_1 + T_1 \\
&=& 3 – 1 \\
&=& 2
\end{eqnarray}
と求まる。

(2)

$S_n$ の一般項は (1) で求めている。

$T_n$ については
\begin{eqnarray}
T_n – T_1 &=& (T_n – T_{n – 1}) + (T_{n – 1} – T_{n – 2}) + \cdots + (T_2 – T_1) \\
T_n – T_1 &=& S_{n – 1} + S_{n – 2} + \cdots + S_1 \\
T_n &=& (4^{n – 1} – 1) + (4^{n – 2} – 1) + \cdots + (4^1 – 1) +T_1 \\
&=& 4 \frac{1 – 4^{n – 1}}{1 – 4} – (n – 1) – 1 \\
&=& \frac{4^n}{3} – \frac{4}{3} – n
\end{eqnarray}
と求まる。

(3)

\begin{eqnarray}
b_1 &=& \frac{a_1 + 2 T_1}{1} \\
&=& – 3 + 2 \cdot(-1) \\
&=& – 5
\end{eqnarray}

数列 $\{T_n\}$ の満たす漸化式は
\begin{eqnarray}
T_{n + 1} &=& \frac{4^{n + 1}}{3} – \frac{4}{3} – (n + 1) \\
&=& 4 \left(\frac{4^n}{3} – \frac{4}{3} – n\right) + \frac{16}{3} + 4 n – \frac{4}{3} – n – 1 \\
&=& 4 T_n + 3 n + 3
\end{eqnarray}
となる。

数列 $\{b_n\}$ の満たす漸化式は
\begin{eqnarray}
b_{n + 1} &=& \frac{a_{n + 1} + 2 T_{n + 1}}{n + 1} \\
&=& \frac{n a_{n + 1}}{n(n + 1)} + \frac{2}{n + 1} T_{n + 1} \\
&=& \frac{4 (n + 1) a_n + 8 T_n}{n (n + 1)} + \frac{2}{n + 1}(4 T_n + 3 n + 3) \\
&=& \frac{4}{n} a_n + 8 \frac{T_n}{n} + 6 \\
&=& 4 \frac{a_n + 2 T_n}{n} + 6 \\
&=& 4 b_n + 6
\end{eqnarray}
と求まる。

この数列 $\{b_n\}$ の一般項は
\begin{eqnarray}
(b_{n + 1} – \alpha) &=& 4 (b_n – \alpha) \\
b_{n + 1} &=& 4 b_n – 3 \alpha
\end{eqnarray}
において、$\alpha = – 2$ とすれば、数列 $\{b_n\}$ の漸化式を再現するので、$b_n + 2$ が、初項 $-5 + 2 = -3$、公比 4 の等比級数となるので
\begin{eqnarray}
b_n &=& – 3 \cdot 4^{n – 1} – 2
\end{eqnarray}
と求まる。

従って
\begin{eqnarray}
b_n &=& \frac{a_n + 2 T_n}{n} \\
-3 \cdot 4^{n – 1} – 2 &=& \frac{a_n + 2 T_n}{n} \\
a_n &=& – 2 T_n – 3\cdot 4^{n – 1} n – 2n \\
&=& – 2\left(\frac{4^n}{3} – \frac{4}{3} – n\right) – 3\cdot 4^{n – 1} n – 2n \\
&=& \frac{-(9 n + 8) 4^{n – 1} + 8}{3}
\end{eqnarray}
と求まる。

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