【数学IIB】

2019年(平成31年)数学IIB【第2問】

(1)

関数 $f(x)$ が $x = -1$ で極値 $2$ を取るので
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& 3 x^2 + 2 p x + q \\
f'(-1) &=& 3 – 2 p + q = 0 \\
f(-1) &=& -1 + p – q = 2
\end{eqnarray}
となり、
\begin{eqnarray}
p &=& 0 \\
q &=& – 3
\end{eqnarray}
と求まる。

また、$f(x) = x^3 – 3 x$ と求まったので、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& 3 (x^2 – 1)
\end{eqnarray}
より、$x = 1$ で極小値 $f(1) = 1 – 3 = -2$ を取る。

(2)

放物線 $D$ 上の点 $A = (a, – k a^2)$ における接線の傾きは $- 2 k a$ であるので、接線 $l$ の方程式は
\begin{eqnarray}
y – (- k a^2) &=& – 2 k a (x – a) \\
y &=& – 2 k a x + k a^2
\end{eqnarray}
と求まる。

接線 $l$ の方程式において $y = 0$ として、$x$ について解けば、$k \neq 0, a \neq 0$ より
\begin{eqnarray}
x &=& \frac{a}{2}
\end{eqnarray}
と求まる。

従って、$D$ と $x$ 軸及び直線 $x = a$ で囲まれた図形の面積は
\begin{eqnarray}
\int_0^{a} (0 – (- k x^2)) {\rm d} x &=& \frac{k a^3}{3}
\end{eqnarray}
と求まる。

接線 $l$ と $x = a$ 及び $x$ 軸で作られる三角形の面積は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \frac{a}{2} k a^2 &=& \frac{k a^3}{4}
\end{eqnarray}
であるので、求める面積 $S$ は
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{k a^3}{3} – \frac{k a^3}{4} \\
&=& \frac{k a^3}{12}
\end{eqnarray}
となる。

(3)

$A$ が $C$ 上にあるので
\begin{eqnarray}
– k a^2 &=& a^3 – 3 a \\
k &=& \frac{3}{a} – a
\end{eqnarray}
となる。

$l$ と $C$ の接点の座標を $b$ とすると $l$ の方程式は、$x = b$ における $C$ の接線の傾きが $3 b^2 – 3$ であることに注意して
\begin{eqnarray}
y – (b^3 – 3 b) &=& 3(b^2 – 1) (x – b) \\
y &=& 3 (b^2 – 1) x – 2 b^2
\end{eqnarray}
となる。

\begin{eqnarray}
f(x) – g(x) &=& x^3 – 3 x – (3 (b^2 – 1) x – 2 b^3) \\
&=& x^3 – 3 b^2 x + 2 b^3 \\
&=& (x – b)^2 (x + 2 b)
\end{eqnarray}
より、$x = b$ において、$l$ が $C$ と接していることが分かり、$x = – 2 b$ において $D$ と接していることが分かる。

2つの接線の方程式の傾きが等しいと置いて
\begin{eqnarray}
– 2 k a &=& 3 (b^2 – 1) \\
– 2 (3 – a^2) &=& 3 \left(-\frac{a}{2}\right)^2 – 1) \\
a^2 &=& \frac{12}{5}
\end{eqnarray}
が得られる。

従って、
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{k a^3}{12} \\
&=& {(3 – a^2) a^2}{12} \\
&=& \frac{3}{25}
\end{eqnarray}
と求まる。

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