【数学IIB】

2019年(平成31年)数学IIB【第1問】[2]

真数は $0$ より大きくなくてはならないので、$x, y$ のとり得る値の範囲は
\begin{eqnarray}
x > – 2,\ y > – 3
\end{eqnarray}
と求まる。

底の変換公式より
\begin{eqnarray}
\log_4(y + 3) &=& \frac{\log_2(y + 3)}{\log_2 4} \\
&=& \frac{\log_2 (y + 3)}{2}
\end{eqnarray}
となる。

従って、
\begin{eqnarray}
\log_2 (x + 2) – 2 \log_4 (y + 3) &=& – 1 \\
\log_2 (x + 2) – \log_2 (y + 3) &=& – 1 \\
\log_2 \frac{x + 2}{y + 3} &=& – 1 \\
2^{\log_2 \frac{x + 2}{y + 3}} &=& 2^{- 1} \\
\frac{x + 2}{y + 3} &=& \frac{1}{2} \\
y &=& 2 x + 1
\end{eqnarray}
となる。

$t = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ と置くと
\begin{eqnarray}
\left(\frac{1}{3}\right)^y – 11 \left(\frac{1}{3}\right)^{x + 1} + 6 &=& 0 \\
\left(\frac{1}{3}\right)^{2 x + 1} – 11 \left(\frac{1}{3}\right)^{x + 1} + 6 &=& 0 \\
\frac{1}{3} t^2 – \frac{11}{3} t + 6 &=& 0 \\
t^2 – 11 t + 18 &=& 0
\end{eqnarray}
なる式が得られる。

また、$x > – 2$ の時に $t = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ は $ 0 < t < 9$ なる範囲の値を取る。 先の2次方程式は \begin{eqnarray} (t - 9)(t - 2) &=& 0 \end{eqnarray} と因数分解出来て、$t = 2, 9$ が得られるが、$0 < t < 9$ なる範囲にあるのは、$t = 2$ のみである。 従って \begin{eqnarray} 2 &=& \left(\frac{1}{3}\right)^x \\ 3^x &=& \frac{1}{2} \\ x &=& \log_3 \frac{1}{2} \end{eqnarray} となり、また \begin{eqnarray} y &=& 2 x + 1 \\ &=& 2 \log_3 \frac{1}{2} + \log_3 3 \\ &=& \log_3 \frac{3}{4} \end{eqnarray} と求まる。

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