【数学IIB】

2019年(平成31年)数学IIB【第1問】[1]

(1)

\begin{eqnarray}
f(\theta) &=& 3 \sin^2\theta + 4 \sin \theta \cos \theta – \cos^2 \theta
\end{eqnarray}
において、$\theta = 0$ とすれば
\begin{eqnarray}
f(0) &=& 0 + 0 – 1\\
&=& – 1
\end{eqnarray}
と求まる。
また、$\theta = \frac{\pi}{3}$ とすれば
\begin{eqnarray}
f\left(\frac{\pi}{3}\right) &=& 3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 4 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} – \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\
&=& 2 + \sqrt{3}
\end{eqnarray}
と求まる。

(2)

\begin{eqnarray}
\cos2\theta &=& \cos^2\theta – \sin^2\theta \\
&=& 2 \cos^2 \theta – 1\\
\cos^2\theta &=& \frac{\cos2\theta + 1}{2}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
f(\theta) &=& 3 (1 – \cos^2 \theta) + 2 \sin2\theta – \cos^2\theta \\
&=& 3 – 4 \cos^2 \theta + 2 \sin2\theta \\
&=& 2 \sin2\theta – 2 \cos2\theta + 1
\end{eqnarray}

(3)

\begin{eqnarray}
f(\theta) &=& 2 \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin2\theta – \frac{1}{\sqrt{2}} \cos2\theta\right) + 1 \\
&=& 2 \sqrt{2} \sin\left(2\theta – \frac{\pi}{4}\right)
\end{eqnarray}

これより、$f(\theta)$ がとり得る最大の整数は $m = 3$ である。
また、その時の $\theta$ は
\begin{eqnarray}
2 \theta – \frac{\pi}{4} &=& \frac{\pi}{4} \\
\theta &=& \frac{\pi}{4} \\
2 \theta – \frac{\pi}{4} &=& \frac{3 \pi}{4} \\
\theta &=& \frac{\pi}{2}
\end{eqnarray}
と求まる。

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