【数学IA】

2019年(平成31年)数学IA【第5問】

内接円の半径を $r$ とすると、三角形 $ABC$ の面積は $\frac{1}{2}(AB + BC + AC) r = 8 r$ と書ける。

一方で $\angle BAC$ に着目して、三角形 $ABC$ の面積を求めると
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} AB \sin\angle BAC AC &= 4 \sqrt{6}
\end{eqnarray}
と書ける。従って、$r = \frac{\sqrt{6}}{2}$ と求まる。

内接円の中心を $I$ とすると、$\angle IAD = \angle BAC/2$ であるので
\begin{eqnarray}
\sin \angle IAB &=& \sin \frac{\angle BAC}{2} \\
&=& \sqrt{\frac{1 – \cos\angle BAC}{2}} \\
&=& \sqrt{\frac{3}{5}} \\
\cos \angle IAB &=& \cos \frac{\angle BAC}{2} \\
&=& \sqrt{\frac{1 + \cos \angle BAC}{2}} \\
&=& \sqrt{\frac{2}{5}} \\
\tan \angle IAB &=& \frac{3}{2} \\
\tan \angle IAB &=& \frac{ID}{AD} \\
&=& \frac{r}{AD} \\
AD &=& \frac{r}{\tan \angle IAB} \\
&=& \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{\frac{2}{3}} \\
&=& 1
\end{eqnarray}
と求まる。

$AD = AE = 1$ であるので、三角形 $ADE$ に関して余弦定理を用いると
\begin{eqnarray}
DE^2 &=& AD^2 + AE^2 – 2 AD\cdot AE \cos \angle BAC \\
&=& 2 + 2 \frac{1}{5} \\
&=& \frac{12}{5} \\
DE &=& \frac{2 \sqrt{15}}{5}
\end{eqnarray}
と求まる。

$AD = 1, DB = 3, AE = 1, EC 4$ に注意して、チェバの定理を用いると
\begin{eqnarray}
\frac{DB}{AD} \frac{CQ}{BQ} \frac{EA}{CE} &=& 1 \\
\frac{BQ}{CQ} &=& \frac{3}{4}
\end{eqnarray}
と求まる。

従って、$BQ = 3, QC = 4$ が分かり、$P = I$ であることが分かる。

これより、$IQ = r = \frac{\sqrt{6}}{2}$ となる。

また、三角形 $DFE$ に注目すると $\angle DEF = 90^{\circ}$ であるので
\begin{eqnarray}
EF^2 &=& DF^2 – DE^2 \\
&=& (2 r)^2 – DE^2 \\
&=& 6 – \frac{12}{5} \\
&=& \frac{18}{5} \\
EF &=& \sqrt{\frac{18}{5}} \\
\cos \angle DFE &=& \frac{EF}{DF} \\
&=& \frac{EF}{2 r} \\
&=& \sqrt{\frac{18}{5}} \frac{1}{\sqrt{6}} \\
&=& \frac{\sqrt{15}}{5}
\end{eqnarray}
と求まる。

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