【数学IA】

2019年(平成31年)数学IA【第4問】

(1)

ユークリッドの互除法を使う。
\begin{eqnarray}
49 &=& 2 \times 23 + 3 \\
23 &=& 7 \times 3 + 2 \\
3 &=& 1 \times 2 + 1
\end{eqnarray}
が成り立つので、これらの式から
\begin{eqnarray}
1 &=& 3 – 1 \times 2 \\
1 &=& 3 – 1 \times (23 – 7 \times 3) \\
1 &=& 8 \times 3 – 1 \times 27 \\
1 &=& 8 \times (49 – 2 \times 23) – 1 \times 27 \\
1 &=& 8 \times 49 – 17 \times 27
\end{eqnarray}
となる。すなわち、$x = 8, y = 17$ が1つの解として見付かる。
つまり、
\begin{eqnarray}
49 \times 8 – 23 \times 17 &=& 1
\end{eqnarray}
が成り立つ。この式と
\begin{eqnarray}
49 x – 23 y &=& 1
\end{eqnarray}
より、両辺を引くことにより
\begin{eqnarray}
49\times(x – 8) – 23 \times(y – 17) &=& 0 \\
49 \times (x – 8) &=& 23 \times (y – 17)
\end{eqnarray}
が得られるが、49と23は互いに素であるので、$k$ を整数として、一般解は
\begin{eqnarray}
x – 8 &=& 23 k \\
y – 17 &=& 49 k
\end{eqnarray}
と書くことが出来る。

ここで、$x$ が最小の自然数となるのは、$k = 0$ の時の $x = 8$ であり、その時、$y = 17$ である。

(2)

求めるべき $A, B$ は
\begin{eqnarray}
49 \times x – 23 \times y &=& \pm 1
\end{eqnarray}
なる $x, y$ を求めれば良い。
\begin{eqnarray}
49 \times x – 23 \times y &=& 1
\end{eqnarray}
の解のうち自然数 $A$ が最小となるのは、(1) で $x = 8, y = 17$ と分かっているので、
\begin{eqnarray}
49 \times x – 23 \times y &=& -1
\end{eqnarray}
を満たす自然数の組 $(x, y)$ のうちで $x$ が最小となるものを探す。
\begin{eqnarray}
49 \times 8 – 23 \times 17 &=& 1
\end{eqnarray}
の両辺を加える事によって
\begin{eqnarray}
49 \times (x + 8) – 23 \times (y + 17) &=& 0 \\
49 \times (y + 8) &=& 23 \times (y + 17)
\end{eqnarray}
が得られるが、23と49は互いに素であるので、$k$ を整数として
\begin{eqnarray}
x + 8 &=& 23 k \\
y + 17 &=& 49 k
\end{eqnarray}
と一般解が求まる。自然数 $x$ が最小となるのは $k = 1$ の時の $x = 15, y = 32$ であるので、求める答えは $x = 8, y = 17$ の時であることが分かる。

$A$ と $B$ の差の絶対値が 2 であるような $A, B$ を求めるには
\begin{eqnarray}
49 x – 23 y &=& \pm 2
\end{eqnarray}
を考えれば良い。

先ずは、プラス符号について考えると、
\begin{eqnarray}
49 x – 23 y &=& 2 \\
49 \times 8 – 23 \times 17 &=& 1
\end{eqnarray}
の2式より
\begin{eqnarray}
49 \times (x – 16) – 23 \times (y – 34) &=& 0 \\
49 \times (x – 16) &=& 23 \times (y – 34)
\end{eqnarray}
が成り立ち、49と23が互いに素であることから、$k$ を整数として
\begin{eqnarray}
x – 16 &=& 23 k \\
y – 34 &=& 49 k
\end{eqnarray}
と一般解が求まる。
これらの解のうちで、自然数 $x$ が最小となるのは $k = 0$ の時の $x = 16, y = 34$ である。

次にマイナス符号について考えると、同様の議論から
\begin{eqnarray}
x + 16 &=& 23 k \\
y + 34 &=& 49 k
\end{eqnarray}
と一般解が表され、自然数 $x$ が最小となるのは $k = 1$ の時の $x = 7, y = 15$ と求まる。

結局、題意を満たす$x, y$ は $x = 7, y = 15$ となる。

(3)

\begin{eqnarray}
a + 1 &=& 1 \times a + 1
\end{eqnarray}
より、$a$ と $a + 1$ の最大公約数は1である。
同様に、
\begin{eqnarray}
a + 2 &=& 1 \times (a + 1) + 1
\end{eqnarray}
より、$a + 1$ と $a + 2$ の最大公約数も1である。

さらに、
\begin{eqnarray}
a + 2 &=& 1 \times a + 2
\end{eqnarray}
から、$a$ と $a + 2$ の最大公約数は $a$ が偶数のときは2であり、$a$ が奇数のときは1である。

また、全ての自然数 $a$ について $a (a + 1) (a + 2)$ が $m$ の倍数となるのは、連続する3つの自然数であるので、少なくとも1つは偶数であり、1つは3の倍数である。従って、$a (a + 1) (a + 2)$ は6の倍数である。
$a = 1$ を考えれば $1 \times 2 \times 3 = 6$ であるので、これが求める最大の $m$ である。

(4)

6762を素因数分解すると
\begin{eqnarray}
6762 &=& 2 \times 3 \times 7^2 \times 23
\end{eqnarray}
となる。

このとき、$b$ を $b(b + 1)(b + 2)$ が6762の倍数となる最小の自然数とするとき、$b, b + 1, b + 2$ のいずれかは $7^2 = 49$ の倍数である。また、$b, b + 1, b+ 2$ のいずれかは49の倍数である。
2と3の素因数を持つことは(3)から保証されている。

すなわち、
\begin{eqnarray}
49 x – 23 y &=& 0 \\
49 x – 23 y &=& \pm 1 \\
49 x – 23 y &=& \pm 2
\end{eqnarray}
のうち、どれかを満たす $x, y$ が求める答えの候補となるが、最初の式を満たす最小の自然数 $x$ は $x = 23, y = 49$ である。この時、$a = 1127$ となる。

(2) で求めたように、2番目の式が成り立つ最小の自然数 $x$ の解は $x = 8, y = 17$ である。
この時、$a = 23 \times 17 = 391$ となる。

3番目の式が成り立つ最小の自然数 $x$ の解は $x = 7, y = 15$ であるので、この時、$a = 343$ となる。

従って、求める $b$ は $b = 343$ となる。

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