【数学IA】

2019年(平成31年)数学IA【第3問】

(1)

赤い袋が選ばれる確率は $\frac{4}{6}$ であり、その中で赤球が選ばれる確率は $\frac{2}{3}$ であるので
\begin{eqnarray}
\frac{4}{6} \times \frac{2}{3} &=& \frac{4}{9}
\end{eqnarray}
と求まる。

また、白い袋が選ばれる確率は $\frac{2}{6}$ であり、その中で赤球が選ばれる確率は $\frac{1}{2}$ であるので
\begin{eqnarray}
\frac{2}{6} \times \frac{1}{2} &=& \frac{1}{6}
\end{eqnarray}
と求まる。

(2)

(1) において、どちらの袋かに関係なく1回目に赤球が選ばれる確率は
\begin{eqnarray}
\frac{4}{9} + \frac{1}{6} &=& \frac{11}{18}
\end{eqnarray}
である。2回目の操作が白い袋で行われるのは、1回目の操作で白玉が出るときであるので
\begin{eqnarray}
1 – \frac{11}{18} &=& \frac{7}{18}
\end{eqnarray}
と求まる。

(3)

2回目の操作で白球が取り出されるのは、1回目の操作で白玉が出て、2回目に白い袋の中から白球が取り出される場合と、1回目の操作で赤球が出て、2回目に赤い袋の中から白球が出る場合の2つの場合があるので、
\begin{eqnarray}
p \times \frac{1}{2} + (1 – p) \times \frac{1}{3} &=& \frac{1}{6} p + \frac{1}{3}
\end{eqnarray}
と求まる。

従って、2回目の操作で白球が出る確率は、この式において、先に求めた1回目に白球が出る確率 $p = \frac{7}{18}$ を代入して
\begin{eqnarray}
\frac{1}{6} \times \frac{7}{18} + \frac{1}{3} &=& \frac{43}{108}
\end{eqnarray}
と求まる。

さらに、3回目の操作で白球が出る確率は先の式において、2回目の操作で白球が出る確率 $p = \frac{43}{108}$ を用いて
\begin{eqnarray}
\frac{1}{6} \times \frac{43}{108} + \frac{1}{3} &=& \frac{259}{648}
\end{eqnarray}
と求まる。

(4)

2回目の操作で取り出した球が白球であったときに、その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は
\begin{eqnarray}
\frac{\frac{7}{18} \times \frac{1}{2}}{\frac{43}{108}} &=& \frac{21}{43}
\end{eqnarray}
と求まる。

また、3回目の操作で取り出した球が白球であったとき、はじめて白球が取り出されたのが3回目の操作である確率は、1回目、2回目ともに赤球を取り出し、3回目に赤球を取り出したということなので
\begin{eqnarray}
\frac{\frac{11}{18} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}}{\frac{259}{648}} &=& \frac{88}{259}
\end{eqnarray}
と求まる。

↓解答例のダウンロードはこちらから