【数学IA】

2019年(平成31年)数学IA【第2問】[1]

三角形 $ABC$ の $\angle BAC$ に着目して余弦定理を使うと
\begin{eqnarray}
BC^2 &=& AB^2 + AC^2 – 2 AB \cdot AC \cos \angle BAC \\
16 &=& 9 + 4 – 12 \cos\angle BAC \\
\cos\angle BAC &=& – \frac{1}{4}
\end{eqnarray}
と求まる。$\cos \angle BAC < 0$ であるので、$\angle BAC$ は鈍角である。 また、 \begin{eqnarray} \sin^2 \angle BAC &=& 1 - \cos^2 \angle BAC \\ &=& \frac{15}{16} \\ \sin \angle BAC &=& \frac{\sqrt{15}}{4} \end{eqnarray} と求まる。



線分 $AC$ の中点を $E$ とする。$\angle CAD = 180^{\circ} – \angle BAC$ より
\begin{eqnarray}
\cos \angle CAD &=& \cos(180^{\circ} – \angle BAC) \\
&=& – \cos \angle BAC \\
&=& \frac{1}{4}
\end{eqnarray}
と求まる。

また、$\angle DEA = 90^{\circ}$ より、
\begin{eqnarray}
\cos \angle CAD &=& \frac{AD}{AE} \\
AE &=& 4
\end{eqnarray}
と求まる。

さらに、点 $C$ から直線 $BD$ におろした垂線との交点を $H$ とすれば
\begin{eqnarray}
\sin \angle CAD &=& \frac{CH}{AC} \\
\sin \angle BAC &=& \frac{CH}{AC} \\
\frac{\sqrt{15}}{4} &=& \frac{CH}{2} \\
CH &=& \frac{\sqrt{15}}{2}
\end{eqnarray}
と求まるので、三角形 $DBC$ の面積は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}(3 + 4) \times \frac{\sqrt{15}}{2} &=& \frac{7 \sqrt{15}}{4}
\end{eqnarray}
と求まる。

↓解答例のダウンロードはこちらから