【数学IA】

2019年(平成31年)数学IA【第1問】[3]

(1)

\begin{eqnarray}
y &=& x^2 + (2 a – b) x + a^2 + 1 \\
&=& \left(x + \frac{2 a – b}{2}\right)^2 – \left(\frac{2 a – b}{2}\right)^2 + a^2 + 1 \\
&=& \left(x – \left(\frac{b}{2} – a\right)\right)^2 + \left(- a^2 + a b – \frac{b^2}{4} + a^2 + 1\right) \\
&=& \left(x – \left(\frac{b}{2} – a\right)\right)^2 + \left(- \frac{b^2}{4} + a b + 1\right)
\end{eqnarray}
と式変形すると、頂点の座標は
\begin{eqnarray}
\left(\frac{b}{2} – a, – \frac{b^2}{4} + ab + 1\right)
\end{eqnarray}
と求まる。

(2)

グラフ $G$ が点 $(-1, 6)$ を通るので
\begin{eqnarray}
6 &=& \left(- 1 – \frac{b}{2} + a\right)^2 + \left(- \frac{b^2}{4} + a b + 1\right) \\
6 &=& 1 + \frac{b^2}{4} + a^2 + b – ab – 2 a – \frac{b^2}{4} + ab + 1 \\
4 &=& a^2 – 2 a + b \\
5 &=& (a – 1)^2 + b
\end{eqnarray}
が成り立つ。ここで、$(a – 1)^2 \ge 0$ であるので、$b$ の取りうる最大値は、$a = 1$ の時、$b = 5$ である。

この時、頂点の座標は
\begin{eqnarray}
\left(\frac{5}{2} – 1, – \frac{5^2}{4} + 5 + 1\right) &=& \left(\frac{3}{2}, – \frac{1}{4}\right)
\end{eqnarray}
となるので、グラフ $G$ は、$y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{3}{2}$ 、$y$ 軸方向に $- \frac{1}{4}$ だけ並行移動させたグラフとなる。

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